Unidad III

CONTENIDOS:
3.1 Ecuación de primer grado
3.2 Resolución de ecuaciones
3.3 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2
3.4 Métodos de solución de los sistemas de 2x2
3.5 Sistemas de ecuaciones lineales 3x3
3.6 Métodos de solución de los sistemas de 3x3




3.1 Ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.

3.2 Resolución de ecuaciones

En una incógnita

Una ecuación de una variable   definida sobre un cuerpo K   donde x es la variable, admite la siguiente solución:

Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n:

3.3 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

En dos incógnitas

En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es:

;

Donde m representa la pendiente y el valor de n determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).

3.4 Métodos de solución de los sistemas de 2x2

Método de eliminación

A continuación encontrarás algunos ejemplos resueltos paso a paso de cómo resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por el método de eliminación.

Ejemplo

Resolveremos este sistema de ecuaciones por el método de eliminación:

${\displaystyle 6x-y=1}$

Observa que la variable Y aparece en ambas ecuaciones con signo opuesto, y que además está acompañada por el mismo número en ambas ecuaciones: en ambas está acompañada por un 1. Debido a esto, si sumamos ambas ecuaciones, el término Y desaparecerá. Mira:

Obtuvimos la ecuación 10X = 10, que podemos despejar fácilmente:

Así que X = 1. Ahora, podemos reemplazar ese valor de X en cualquiera de las dos ecuaciones que teníamos inicialmente, y despejar Y:

Y listo. Tenemos la solución al sistema de ecuaciones:

Ejemplo 2

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de eliminación:

PASO 1

Ordenamos ambas ecuaciones, de modo que X y Y aparezcan en el mismo orden en ambas.

PASO 2

Debemos decidir cuál variable vamos a eliminar. En este caso, eliminaremos la Y. Para eliminarla, necesitamos que esté en ambas ecuaciones acompañada por el mismo coeficiente, pero con signos opuestos (es decir, necesitamos que en una ecuación aparezca con signo positivo y en la otra con signo negativo)

PASO 3

Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que acompañe a Y en la otra ecuación.

En este caso, observa que en la primera ecuación la Y está acompañada por un 1, mientras que en la segunda está acompañada por un 4, así que deberíamos multiplicar la primera ecuación por el 4 y la segunda ecuación por el 1. Sin embargo, necesitamos que una de las dos Y sea negativa, así que vamos a multiplicar la segunda ecuación por -1.

PASO 4

Sumamos ambas ecuaciones.

PASO 5

Despejamos la variable que queda.

PASO 6

Ya tenemos una variable despejada. Ahora la reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones que teníamos inicialmente, y despejamos la otra variable

Y ya está resuelto el sistema de ecuaciones:

Método de sustitución

Ejemplo 1

3X + Y = 22

4X - 3Y = -1

PASO 1

Despejamos una variable de cualquier ecuación. En este caso, despejaremos la Y de la primera ecuación:

3X + Y = 22

Y = 22 - 3X

PASO 2

Reemplazamos el valor de Y que acabamos de obtener en la otra ecuación, y simplificamos la ecuación:

4X - 3Y = -1

4X - 3(22-3X) = -1

4X - 66 + 9X = -1

13X - 66 = -1

PASO 3

Despejamos la variable que nos queda (en este caso, X):

13X - 66 = -1

13X = -1 + 66

13X = 65

  X = 65/13

  X = 5

PASO 4

Ya obtuvimos el valor de X. Sabemos que Y = 22 - 3X (fue el primer despeje que hicimos, ¿recuerdas?), así que

Y = 22 - 3X

Y = 22 - 3*5

Y = 22 - 15

Y = 7

Y listo. Tenemos entonces la solución al sistema de ecuaciones:

X = 5

Y = 7

3.5 Sistemas de ecuaciones lineales 3x3

Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más variables (letras, literales o incógnitas) y consiste en encontrar los valores de las variables que satisfacen dichas ecuaciones. La solución o raíz de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de las variables que satisface todas las ecuaciones del sistema.

Un sistema de ecuaciones es compatible o posible cuando tiene solución y es inconsistente, incompatible o imposible cuando no tiene solución. Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones. Las ecuaciones de un sistema determinado se llaman independientes. Las ecuaciones de un sistema indeterminado se llaman dependientes.

Cuando las ecuaciones representan condiciones impuestas al mismo tiempo y a las mismas variables, decimos que forman un sistema de ecuaciones simultáneas.

Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen una de la otra, es decir, son múltiplos y/o paralelas.

3.6 Métodos de solución de los sistemas de 3x3

El método de Cramer sirve para resolver ecuaciones

Procedimiento para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por el método de reducción (suma o resta):

Si el sistema es:

 

Sistema de ecuaciones 3x3 método de suma y resta o reducción ejemplo

donde `a_1 , a_2 , a_3` son los coeficientes de la variable `x` ; ` b_1 , b_2 , b_3` son los coeficientes de la variable `y`; ` c_1 , c_2 , c_3` son los coeficientes de la variable `z`; ` d_1 , d_2 , d_3` son los términos independientes.

Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las variables y con ello se obtiene una ecuación con dos variables.

Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina entre ellas la misma variable que se eliminó antes, obteniéndose otra ecuación con dos variables.

Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos variables que se han obtenido; hallando de este modo dos de las variables.

Los valores de las variables obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres variables, con lo cual se halla la tercera variable