Unidad I

CONTENIDOS:
1.1 Definición de Álgebra y su diferencia con la aritmética
1.2 Notación del Álgebra
1.3 Representación algebraica de expresiones en lenguaje común
1.4 Evaluación numérica de expresiones algebraicas
1.5 Operaciones algebraicas fundamentales
1.6 Leyes de los exponentes


1.1 Definición de Álgebra y su diferencia con la aritmética

Álgebra

El álgebra es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética.

Aritmética

El propio término “Aritmética” deriva de un vocablo griego que significa número. Es la rama más básica de la Matemática y abarca todo lo que tiene que ver con los números, por lo tanto, es utilizada por la personas en su día a día. La Aritmética tradicional trabaja en torno a las cuatro operaciones principales, que son: la suma, resta, multiplicación y división. Simplemente se encarga de realizar diversos tipos de cálculos usando números.

Diferencia clave entre Álgebra y Aritmética

La Aritmética, siendo la más básica de las ramas de las matemáticas, se ocupa del análisis básico de números; mediante el uso de operaciones como la suma, resta, multiplicación y división. Mientras que el Álgebra, viene a ser el segundo nivel entre las ramas de las matemáticas y utiliza tanto números como variables para solucionar problemas. Se basa en la aplicación generalizada para la solución de problemas.

1.2 Notación del Álgebra

En álgebra se utilizan símbolos para representar las cantidades, los números se se usan para representar las cantidades determinadas por ellos y las letras para cantidades desconocidas. También usamos los signos de operación que ya conocemos +,−,/,= etc.

Ejemplos:

a             puede tomar cualquier valor numérico.

3a           es el triple de la cantidad a o a multiplicado por 3 como quiera verse.

7b²   representa a 7 veces la cantidad b elevada al cuadrado.

Veamos ahora algunos signos de operación, relación y agrupación.

Operación

Entre los signos de operación tenemos los siguientes: suma, resta, multiplicación, división, exponente y raíz entre los más conocidos. En la multiplicación de dos cantidades suele usarse un "punto" ⋅ en vez de usar la típica x que usamos en aritmética, o de otra manera algunas veces se omite este punto y se colocan las letras o variables juntas lo que indica que estamos hablando de una multiplicación. Ejemplos:

a+b,a−b,ab,ab,a3,a−−√.

Relación

Algunos signos de relación son :

= igual a, > mayor que, < menor que,etc.

a>b, a<b, a=b

Agrupación

Los signos de agrupación son los paréntesis (), corchetes [], o las llaves {}.

3{5a[67(a+b3)−ba]+(a+b)3}.

La notación algebraica nos sirve como puente entre el vocabulario normal que usamos diariamente y una forma más matemática de expresar eso mismo. Un ejemplo sencillo de esto es la siguiente afirmación: para obtener el área de un triángulo multiplicamos la base por la altura y el resultado lo dividimos entre dos, esto mismo usando notación algebraica sería algo como A=b⋅a² dentro de las ventajas de la notación algebraica es que los signos de operación son universales y por eso fácil de entender independientemente del idioma, es decir un chino y un alemán entienden lo mismo al ver la expresión A=b⋅a^2.

1.3 Representación algebraica de expresiones en lenguaje común

El lenguaje común es el que comúnmente utilizamos a través de un denominado código o lenguaje, por lo que a partir de este podemos relacionarnos mutuamente, ya que lo ocupamos en la vida diaria.

El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

Términos para identificar las operaciones en lenguaje algebraico

Suma.- Adición,aumentar, sumar, añadir, exceder, más, agregar.

Resta.- Sustraer, diferencia, menos, disminuir, menos que, menos, de, quitar, reducir.

Multiplicación.- Producto, por, multiplicado por, tantas veces, el producto de, incrementar, los vocablos: doble, triple, cuádruple, etc.

División.- Cociente, entre, dividido por, razón de, fracción, porción, parte, reparto, mitad, tercio, cuarto, etc.

1.4 Evaluación numérica de expresiones algebraicas

Evaluar una expresión algebraica significa agregarte valores, números a las liberarles y después efectuar las operaciones indicadas.

Por ejemplo.

Evaluar la expresión 6mn si m=8 y n=2

6mn                      6 (8) (2)= 96

1.5 Operaciones algebraicas fundamentales

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES	CONCEPTO	LEYES DE LOS SIGNOS	LEYES DE LOS EXPONENTES	EJEMPLOS CON NÚMEROS ENTEROS.	EJEMPLOS CON NÚMEROS FRACCIONARIOS.
SUMA             O       ADICION	“Es la operación que consiste en reunir dos o más operaciones algebraicas en una sola”.	En la suma no se aplican dichas leyes. La regla que se utiliza es “signos iguales se suman, signos diferentes se restan”.	En la suma no se aplican dichas leyes. La regla que se utiliza es “Agrupación de términos semejantes (iguales en letras y exponentes).	.   12a + 7a       = 19a .   8x² + 24x²    = 32x² . 13x²y³+5x²y³=18x²y³ . 18mn + 7mn= 25mn . 3ab+ 16ab   = 19ab . 7a4 – 9a4-5a4= - 7a4  .18x6y3- 3x6y3= 15x6y3	.       4/8x3 + 6/8x3        = 10/8x3 .      3/5m3 + 2/3m3     = 19/15m3 . 5/8x2 + 4/5x2                  = 57/40x2 . 2/3y4 + 5/6y4+ 3/6y4 = 10/6y4 . 7/12b2 + 5/6b2 + 4/3b2=33/12b2
RESTA               O     SUSTRACCIÓN	“Es la operación que consiste en sustraer o quitar una cantidad de otra”.	En la resta no se aplican dichas leyes. La regla que se utiliza es al restar el sustraendo del minuendo, se cambian de signo los términos en cuestión.	En la resta no se aplican dichas leyes. La regla que se utiliza es “Agrupación de términos semejantes (signos iguales se suman, signos diferentes se restan).	. 8a – (5a) = 8a-5a= 3a .   9xy-(3xy)     = 6xy .  74mn-18mn   =56mn .   14x² - 6x²     = 8x² . 25x³y²-18x³y² =7x³y²	. 4/5x3 – 3/5x3 = 1/5x3 . 2/7x2 – 3/4x2 = - 13/28x2 . 3/5x5 – 2/3x5 = 9/15x5-10/15x5                        = -1/15x5 . 7/8m5 – 3/4m5 = 1/8m5 . – 4/5y3- 5/6y3 = - 49/30y3
MULTIPLI CACIÓN                O  PRODUCTO	“Es la operación donde el multiplicando y el multiplicador al desarrollarse dan como resultado un *producto*”.	( +)( +) = + ( - )( - ) = + ( + )( -) = - ( -  )(+) = -	“En la multiplicación los exponentes se suman”.	. ( 4a)(7a )  = 28a² . (8xy)(5xy) = 40x²y² . (6x4y)(4x3) = 24x7y .(3a²b)(2ab²) = 6a³b³ . (6x²y²)(3x) =18x³y²	. (3/5x2)(5/8x3)    = 15/40x5 . (4/6b3)(2/3ab2)  = 8/18ab5 . (3/7x3y2)(2/4xy) = 6/28x4y3 . (- 2/5m2n2)(4/6mn) = - 8/30m3n3 . ( - 3/8x4)(- 4/5x2y3) = 12/40x6y3
DIVISION              O      COCIENTE	“Es la operación donde se desarrollan el dividendo y el divisor y dan como resultado un *cociente*”.	( +)( +) = + (  -)( - ) = + ( +)( - ) = - ( - )( +) = -	“En la división los exponentes se restan”.	.     6x5/ 3x2   = 2x3 . 18x³y²/ 3xy  = 6x²y . 48x³y³/6x²y  = 8xy² . 8m5n4/4mn  = 2m4n3 . 54x²y²/6xy5  = 9xy -3	. (4/5x3) ÷ ( 2/3x)   = 12/10x2 . (7/8m4) ÷ (4/6m2) = 42/32m2 . (- 3/5b5c2) ÷ (- 6/9b2) = 27/30b3c2 . (- 5/6x4) ÷ ( 3/4x7) = - 20/18x -3 . (- 3/7y2) ÷ ( 2/5y5) = - 15/14y -3
POTENCIACIÓN               O      POTENCIA	“Es la operación de multiplicar por si misma las veces que indica la potencia o exponente”.	( +)( + ) = + ( - )(  - ) = + ( +)(  - ) = - ( - )(  +) = -	“En la potenciación los exponentes se multiplican”.	. (2x4 )3     = 8x12 . (4x3y4)3   = 64x9y12 . (5x5 )²     = 25x10 . (3y4 )5     = 27y20 . (6xy)²      = 36x²y²	. ( 3/5x2)3      = 27/125x6 . ( 2/3y3)2     = 4/9y6 .( 4/9b2c3)2  = 16/81b4c6 . ( 2/5x3y2)3  = 8/125x9y6 . (3/4m2n)3   = 27m6n3
RADICACION              O        RAICES	“Es la operación inversa a la potenciación; es encontrar la raíz indicada en el radicando”.	( +)( +) = + (  -)(  -) = + ( +)(  -) =  - (  -)( +) =  -	“En la radicación los exponentes se dividen”.	.  √ 9x²       = 3x .   √16x²     = 4x .   √64x²y²  = 8xy . ³√ 27 x³y³ = 3xy . ³√ 8x³y³    = 2xy	. √ 4/9x3       = 2/3x3/2 . √16/25x4  = 4/5x2 . 3√8/27b5     = 2/3x5/3 . √ 4/25m6     = 2/5m3 . 3√27/125x6y9 = 3/5x2y3

1.6 Leyes de los exponentes

Ley                       Ejemplo

x1 = x                   61 = 6

x0 = 1    7             0 = 1

x-1 = 1/x              4-1 = 1/4

xmxn = xm+n      x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n      x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn        (x2)3 = x2×3 = x6

(xy)n = xnyn        (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn      (x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn             x-3 = 1/x3